7月15日付けで退職し、先日ハローワークで失業保険の手続きを済ませました。その間に週２０時間以内のアルバイトなら問題なくできますが、給付制限が終わった後に申告が必要です。

失業保険の受給について
自己都合で退職し先日ハローワークにて失業保険の手続きをしてきました。
その時に窓口の方に１週間に20時間以内であればアルバイトしていいとの事をいわれました。
その時に聞き忘れたのですが、アルバイトをする際は何か書類など職安にだすのですか？

自己都合退職なら３ヶ月の給付制限がありますよね。
その間に週２０時間以内のアルバイトなら問題なくできますが、給付制限が終わった後に申告が必要です。
週２０時間以上でもアルバイトはできますが、その場合は受給資格を一旦返上しなければなりません（やっている間は就職となるので）
なお、アルバイトをする前に特に書類は出す必要はないです。

失業保険をもらうための求職活動実績についてなんですが、「ハローワークの窓口での職業相談」はわかりやすいんですが、

「ハローワーク（職安）のパソコン（求人検索機）で仕事を検索する」
↑で検索する際に、「ハローワークカード」の提示は受付でする必要ってありますか？

検索し終わったら日付入りのハンコを押すだけじゃダメなんでしょうか？

各地域での違いはあるみたいなんですが、どうなんでしょう。

東京では検索終了後座席指定の札を返却時に受付で受給資格者証に印を押してます。
地域によっては原則通り検索自体を就職活動として認めてない所もあります。

９／１、勤めていた会社が倒産しました。すると、９／４に倒産した会社の事業を○○会社がスポンサーとなり、その○○会社の子会社となることになりました。
社名なども変わるようです。電話の話では、いつから働けるかはわかりませんが、希望すればそこで雇用してもらえることになりそうです。（確定ではなく、詳しい雇用条件などは全くわかりません、スポンサーの会社がどこなのかもわかりません）
どうなるか心配なので、９／９にハローワークいき、失業保険の申請を行いました。
このような場合、失業保険はもらえるのでしょうか？また、この会社に就職した場合、ネットでよく見る再就職手当てはもらえるのでしょうか？申し訳ありませんが、教えてください。

再就職手当の申請書類には、再就職先の会社が元の勤務先の関連企業であるかどうかを申告させます。
最終的にはハローワークの判断によりますが、今回のあなたのケースでは再就職手当の受給は難しいように思います。

【追記】
失業給付についてですが、まだ現段階では新会社から内定すら貰っていませんので失業手当は受給できます。
この先、会社名が決まり、労働条件が決まり、ようやくあなたの採用日が決まった段階でハローワークへ報告すればよいのです。

教えてください。
7月15日付けで退職し、先日ハローワークで失業保険の手続きを済ませました。
このことは、家族には言ってません。（再就職するまで内緒にしておきたい）
ふと気づいたのですが、手続きをしたせいで、電話、郵便等で連絡が頻繁にあるものですか？
よろしくお願いします。

ハローワークから電話等の連絡はありません。
国民健康保険や国民年金保険および住民税の通知はあります。特に国民健康保険の保険料請求は「世帯主」宛となりますのでご承知ください。また従前の勤務先から「離職票」や「源泉徴収票」が送付されてまいります。

扶養に入る手続きと、高額療養費制度について・・・
はじめまして。よろしくお願いします。

現在、失業保険を受給中です。この間、主人の扶養から外れて国民健康保険と国民年金に加入しています。4月上旬が3回目の認定日となり、残りの日数があるため恐らく5月上旬の4回目の認定日で終了となります。そこで、4回目の認定日が過ぎたら、主人の会社の方へ扶養に入る手続きをしていただく予定なのですが、一つ問題があります。

とある手術（費用は20万円弱）を受けることが決まり、当初の予定では手術の予定が4月下旬～5月上旬でしたので国民健康保険の高額療養費制度を利用しようと思っていました。が、つい先日病院に連絡したところ、手術の予定が5月中旬になったとのこと。となると、失業保険の給付期間は過ぎていますから、扶養に入る手続きをしている最中です。ゴールデンウィークを挟みますので、そもそも手術日（入院日）までに健康保険証の発行が間に合わないと思うのです。その場合、やはり一旦全額を納めないといけないのでしょうか。（病院の費用が20万弱と聞いていますが、これは3割負担になった時の金額なのか、差額ベッド代や食事代などを除く全ての医療費の全額が20万弱なのか、これは次回診察の際に聞きますので、現時点ではまだ確認出来ていません。）

国民健康保険に加入したときは、その場で加入手続き中の証明書のようなものをいただき、保険証が届くまでの間代用してくださいと言われました。健康保険の場合、こういった証明書はありませんよね？（結婚した当初も２，３回病院にかかったのですが、全て自費で10万円ほど支払い、のちに返金してもらいました）

やはり、一旦10割全額を納めておいて、のちほど健康保険証をいただいてから病院にて3割の自己負担を除く7割分を返金していただき、その上で健康保険教会の高額療養費制度を利用するしかないのでしょうか。分かりづらい質問文で申し訳ございませんが、どなたか教えてください。

主人の扶養で社会保険（健康保険）に入る日は失業給付の完了した日（支給終了証明の日付）あたり（翌日あたり）になります。
そのときから加入日付となると思いますので、手術の中旬になっていると思いますが、保険証がまだ手元に来ていないということで
病院に提出できないわけですね。
その状況（製作発行中）を説明すれば、請求までまってくれる場合もあるでしょう。
あるいは仮にはらって後で返してもらうこことになるかもしれませんね。いずれにしろ病院に説明して相談ですね。

補足：失業保険中も求職活動していたけど、就職するところが見つからなかったので、給付終了時点で一旦、扶養になりながらも求職をしてくという解釈でいいと思います。